Définition
Algèbre linéaire
On dit que \(F_1\) et \(F_2\) sont en somme directe si et seulement si $$F_1\cap F_2=\{0_E\}$$
(
Sous-espaces vectoriels supplémentaires)
Dans un groupe abélien
Définition de la somme directe dans un groupe abélien (2 sous-groupes) :
- soit \(H,K\) deux sous-groupes d'un groupe abélien \(G\)
- \(H\cap K=\{e\}\)
$$\Huge\iff$$
- le sous-groupe \(H+K\) est dit en somme directe de \(H\) et \(K\)
(
Groupe abélien)
Définition de la somme directe dans un groupe abélien pour une famille quelconque de sous-groupes :
- soit \(G\) un groupe abélien
- soit \((H_i)_{i\in I}\) une famille arbitraire de sous-groupes de \(G\)
- $$\forall j\in I,\quad H_j\cap\underset{i\ne j}{\sum_{i\in I}}H_i=\{e\}$$
$$\Huge\iff$$
- le groupe \(\displaystyle\sum_{i\in I}H_i\) est appelé somme directe des \(H_i\)
- on peut écrire : \(\displaystyle\bigoplus_{i\in I}H_i\)
Propriétés
Caractérisation dans un groupe abélien
Caractérisation d'une somme directe dans un groupe abélien (deux sous-groupes) :
- soit \(G\) un groupe abélien
- soient \(H,K\) deux sous-groupes de \(G\)
- $$\forall z\in H+K,\exists !(x,y)\in H\times K,\quad z=x+y$$ (la décomposition est donc unique)
$$\Huge\iff$$
- la somme \(H+K\) est directe
Caractérisation d'une somme directe dans un groupe abélien (famille quelconque de sous-groupes) :
- soit \(G\) un groupe abélien
- soit \(\{H_i\}_{i\in I}\) une famille de sous-groupes de \(G\)
- \(\forall x\in\displaystyle\sum_{i\in I}H_i\), \(x\) s'écrit de manière unique sous la forme \(x=\displaystyle\sum_{1\leqslant k\leqslant n}x_k\), avec \(n\in{\Bbb N}\) et \(x_{i_k}\in H_k,\forall k\in[\![1,n]\!]\)
$$\Huge\iff$$
- \(\displaystyle\sum_{i\in I}H_i\) est en somme directe